「(-1)×(-1)=1」の証明

(-1)×(-1) = 1

を証明するのに必要な知識は 

分配法則

だけである。

a(b+c) = ab+ac　　……分配法則

初めて分配法則を目にしたときには、「法則」というほどのものなのだろうか、きわめて自明で「当たり前すぎる」と思った人も多いのではないだろうか。

つぎの計算をしてみよう。

(-1){(-1)+1} = ?

計算で工夫のできる人は、

(-1){(-1)+1} = ?

の

{(-1)+1}

に着目して、

{(-1)+1} = 0

であり、0に何をかけても答えは0であると考える。

(-1){(-1)+1}

= (-1)×0

= 0

(-1){(-1)+1} = 0

さて、ここで、分配法則を当てはめて、式を展開する。

すると、(-1){(-1)+1} = 0はこうなる。

(-1)×(-1)+(-1)×1 = 0

そして、(-1)×(-1)+(-1)×1 = 0のうちの、(-1)×1の部分だけを計算する。

(-1)×(-1)+(-1) = 0

(-1)を右辺へ移項させる。まず、両辺に+1を加える。

(-1)×(-1)+(-1)+1 = 0+1

(-1)+1 = 0であり、0+1 = 1なので、つぎのようになる。

(-1)×(-1) = 1